|
Часто можно услышать, что наилучшим советом математика любителю азартных игр является утверждение, заключающееся в том, что наилучшей стратегией в азартных играх является полное воздержание от участия в них. В лучшем случае, по мнению многих математиков, самое большее, что могут дать теория вероятностей и теория игр для игрока - это стратегии, следуя которым он не будет проигрывать слишком много. Трудно сказать, разделял ли это мнение американский математик Эдвард Торп, когда однажды, проводя зимние каникулы в Лас-Вегасе, он, зайдя в казино, решил испытать свою удачу в игре в двадцать одно. Как оказалось, "Госпожа Удача" была тогда крайне неблагосклонна к нему. Нам не известно точно, каких денег пришлось лишиться этому преподавателю математики одного из американских университетов тем зимним вечером конца 50 -х - начала 60-х годов прошлого века, однако, судя по последующим событиям, сумма была не маленькой. Иначе как объяснить, что разработка оптимальной стратегии этой игры стала на несколько лет "идеей фикс" нашего героя. Впрочем, возможно дело даже не в количестве проигранных математиком денег. Может быть, Торп был просто чрезвычайно азартным человеком, и его самолюбие и как игрока, и как специалиста-математика было уязвлено. Кроме того, он мог подозревать крупье в нечестности, поскольку как он заметил, карты тасовались не после каждой партии. Правда, во время самой игры это его не особенно настораживало. Однако, затем, посетив казино еще несколько раз, он заметил, что, поскольку правилами не Эта стратегия, в числе прочего, была основана на том самом аспекте, который и насторожил проигравшего математика - карты тасовались не слишком часто. Причем, это, по- видимому, как правило, делалось не из-за какого-то злого умысла, а с целью избежать, как тогда считалось, ненужных замедлений в игре. Результаты своих исследований Эдвард Торп изложил в книге, опубликованной в 1962 году (Thorp E.O Beat the dealer. A winning strategy for the game of twenty one. - New York: Blaisdell, 1962.) , которая, как это не удивительно, заставила владельцев игорных домов в штате Невада существенно поменять правила игры в двадцать одно. Но, обо всем по порядку. Тогдашними правилами игры в двадцать одно крупье сдавал игрокам по две карты из тщательнейшим образом перетасованной колоды, состоящей из 52 карт. Сами игроки не показывали сдающему крупье свои карты. В то же время, из выделенных самому себе двух карт, служащий казино, одну из них (обычно первую) показывал игрокам. Игроки оценивают свои карты по следующей шкале. Валеты, дамы и короли имеют значение, равное 10 очкам, тузу могло быть приписано либо 1 очко, либо 11 очков, цена остальных карт совпадала с их численным значением ( восьмерки по 8 очков, девятки по 9 и т.д.). Выигравшим считался тот игрок, на руках у которого оказываются карты с суммой очков, наиболее близкой к 21 очку снизу. При этом, оценив полученные им карты, каждый игрок (включая и крупье) имел право взять из колоды, или, говоря проще, "прикупить" любое количество карт. Однако, если в итоге, суммарное количество очков после прикупа превысит 21 очко, то игрок должен, показав свои карты, выбыть из игры. Особые правила были установлены и по поводу ставок. Изначально устанавливались их верхние и нижние границы, и каждому игроку предоставлялось право выбора конкретной ставки (в этих границах), в зависимости от оценки своего положения. Если в итоге оказывалось, что, в соответствии с правилами игры, на руках у посетителя казино оказывалось "лучшее" количество очков, чем у крупье, то он получал выигрыш в размере сделанной им ставки, в противном случае, этот игрок терял свою ставку. В случае равенства набранных очков у игрока и крупье, игра кончается миром, т.е. результат игры признается "безобидным" как для игрока, так и для казино. Заметим, что, в отличие от обычных игроков, крупье не обязан открывать свои карты в том случае, если количество очков на этих картах превышает 21. Более того, после того, как все игроки открывают свои карты, и, следовательно, все ставки достаются казино, игроки не могут в принципе узнать, сколько на самом деле было очков у крупье, чтобы в зависимости от этого строить свою стратегию игры на следующую партию (рисковать ли брать прикуп и т.п.). Разумеется, это дает крупье существенные преимущества. Впрочем, все игроки, разумеется, понимают это, и, … продолжают играть. Ничего не поделаешь, кто не рискует, тот, как известно, не выигрывает. Торпу удалось выяснить, что владельцы игорных домов дают достаточно жесткие указания своим служащим относительно той стратегии, которой последние должны придерживаться в игре с посетителями. Контроль за выполнением этих указаний имел своей первейшей целью воспрепятствовать тайному сговору крупье с остальными игроками, возможность которого, разумеется, нельзя исключать. Предписываемые крупье строгие правила, определяющие его игровую стратегию, действительно, существенно уменьшали вероятность такого сговора, но, с другой стороны, позволяли "продвинутому" игроку достаточно адекватно раскрыть суть этой стратегии и эффективно противостоять ей. Ведь, в отличие от крупье, игрок не только не обязан показывать первую из полученных карт, но и не связан никакими жесткими правилами относительно своей стратегии и, поэтому может, гибко меняя свое поведение, запутать крупье. Так, например, как удалось узнать Торпу, практически во всех игорных домах штата Невада, крупье предписывалось обязательно воздерживаться от прикупа в том случае, если сумма очков на его картах больше или равна 17, и игрок, по мнению нашего математика, должен не упустить своей возможности воспользоваться знанием даже некоторых аспектов стратегии крупье для достижения своих целей. Таким образом, те преимущества, которыми изначально обладает служащий игорного дома (как мы уже знаем, он не обязан в конце игры открывать свои карты), в определенной мере могут быть компенсированы знанием игрока о стратегической "зашоренности" крупье. Кроме того, как уже отмечалось, Торп, при построении своей стратегии исходил из того, что карты перемешивались не слишком часто, а именно, если после окончания очередной партии в колоде еще оставались карты, то крупье не собирал отброшенные игроками карты, а сдавал карты вновь (и игралась следующая партия), и только после полного исчерпывания колоды, служащий игорного дома собирал все карты, тщательно перетасовывал их, и начинался новый "цикл". Естественно, что если игрок обладал хорошей памятью, он мог изменять свою стратегию в зависимости от знания о том, какие карты уже вышли из игры, и на какие карты еще можно рассчитывать. Важно напомнить и о том, что сам крупье, обязанный строго следовать указаниям владельцев казино, практически не менял своей стратегии! Торп поставил перед собой задачу вывести правила подсчета вероятностей извлечения той или иной карты из неполной колоды. Зная эти вероятности, игрок уже мог с достаточной уверенностью брать карты из прикупа, не слишком опасаясь "перебора", и, кроме того, на основе знания некоторых аспектов стратегии крупье, строить предположения о тех картах, которыми обладает он и другие игроки. Естественно, поскольку принимать решение о прикупе игрок должен был очень быстро, искомые правила для подсчета вероятностей должны были быть достаточно простыми, чтобы игрок сумел ими воспользоваться "в уме", не используя не только калькулятор, но и ручку и бумагу (даже если предположить, что игроку дадут возможность провести расчеты на бумаге, это несомненно вызовет подозрения). И Эдвард Торп сумел решить эту математическую проблему, создав достаточно простые алгоритмы для подсчета вероятностей извлечения из колоды той или иной карты, и, используя их, построить не слишком сложную стратегию игры в двадцать одно, позволявшую существенно повысить шансы игрока на выигрыш! Как рассказывает венгерский математик А.Реньи, через несколько дней после своего доклада о полученных результатах на заседании Американского математического общества в 1960 году в Вашингтоне, "Торп получил от некоего бизнесмена письмо с чеком на 100 тысяч долларов, предназначенных для проверки выигрышной стратегии на практике. Торп принял чек и, выучив сформулированные им правила наизусть, отправился в Неваду, чтобы испытать свое открытие. Испытание прошло успешно: менее чем за два часа Торп выиграл 17 тысяч долларов. Разумеется, владелец игорного дома не разделял восторгов Торпа и его компаньона по поводу успешного исхода испытания и на следующий день предпринял все от него зависящее, чтобы помешать Торпу снова сесть за игорный стол. Позднее Торп пытался проникнуть в другие игорные дома, но весть о нем уже успела распространиться, и двери всех игорных домов неизменно оказывались закрытыми для него. Несколько раз, нацепив фальшивую бороду или загримировавшись под китайца, Торп все же добирался до игорного стола, но при любой маскировке его неизменно выдавал постоянный выигрыш. От дальнейших проверок разработанной им стратегии Торпу пришлось отказаться" . Да и "дополнительные проверки" были "необходимы" лишь для того, чтобы пополнить карманы талантливого математика. Вряд ли можно было сомневаться в том, что Э.Торпу в действительности удалось создать выигрышную стратегию! Но, поскольку сам он уже не мог воспользоваться плодами своего открытия, он решил оказать "материальную помощь" своим коллегам, опубликовав в 1961 году небольшую заметку в американском академическом журнале (Thorp E.O. "A favourable strategy for twenty-one", Proc.Nat.Acad.Sci., 47, 110-112, (1961)). И хотя небольшой объем заметки и, следовательно, чрезвычайно сжатая форма изложения, делала ее доступной лишь достаточно узкой группе профессионалов, можно с достаточной долей уверенности предположить, что некоторое число американских ученых и их друзей наверняка "поправили" свое материальное положение (владельцы игорных домов вряд ли читали тогда научные журналы). Ещё через год Торп опубликовал книгу (о ней я уже упоминал в начале статьи), в которой уже достаточно подробно, в форме, доступной любому мало-мальски грамотному и разумному человеку, изложил правила построения выигрышной стратегии. Но публикация книги не только обусловила быстрый рост желающих обогатиться за счет владельцев игорных домов, но и позволила последним понять главную причину эффективности разработанной Торпом стратегии. Прежде всего, владельцы казино поняли наконец, что необходимо ввести в правила игры следующий обязательный пункт: карты должны тщательно тасоваться после каждой партии! Если это правило неукоснительно выполняется, то выигрышную стратегию Торпа в принципе применить невозможно, поскольку расчет вероятностей извлечения из колоды той или иной карты базировался на знании о том, что некоторые карты уже не появятся в игре! Но что значит, что карты "тщательно перетасованы"? Обычно в игорных домах под процессом "тщательного перемешивания" понимается процесс когда крупье, один из игроков или, что в последнее время наблюдается все чаще и чаще, специальный автомат, производит некоторое число более или менее однообразных движений с колодой (число которых варьируется, как правило, от 10 до 20-25). При каждом из этих движений расположение карт в колоде меняется. Как говорят математики, в результате каждого движения над картами производится некоторая "подстановка". Но действительно ли, что в результате таких 10-25 движений колода оказывается тщательно перетасованной, а именно, если в колоде 52 карты, то вероятность того, что, например, верхняя карта окажется дамой, будет равна 1/13 ? Другими словами, если мы, к примеру, 130 раз будем таким образом тасовать карты, то качество нашего перемешивания окажется тем более "тщательным" , чем число появления дамы наверху из этих 130 раз окажется ближе к 10. Математически строго можно доказать, что если наши движения оказываются в точности одинаковыми (однообразными), то такой способ тасования карт не является удовлетворительным. При этом он является тем более плохим, чем меньше, так называемый, "порядок подстановки", т.е. чем меньше число этих движений (подстановок) после которых карты оказываются расположенными в том же самом порядке, с которого началось перемешивание колоды. Действительно, если такое число равно t, то, повторяя в точности однообразные движения любое число раз, мы, при всем нашем желании, не можем получить более t различных расположений карт в колоде, или, говоря языком математики, не более t различных "перестановок" карт. Разумеется, в действительности, тасование карт не сводится к повторению в точности тех же самых движений. Но если даже предположить, что тасующий человек (или автомат) производит движения случайным образом, при котором при каждом движении могут возникать с определенной вероятностью все возможные расположения карт в колоде, вопрос о "качестве" такого перемешивания оказывается далеко не простым. Этот вопрос является тем более интересен с практической точки зрения, что большинство знаменитых шулеров добивается феноменальных успехов, используя то обстоятельство, что кажущееся глазу "тщательное тасование" карт, на самом деле таковым не является! Математика и в этом вопросе помогает прояснить ситуацию. В работе "Азартные игры и теория вероятностей" А.Реньи приводит математические выкладки, позволяющие ему сделать следующий практический вывод: "Если все движения тасующего случайны, то в принципе при тасовании колоды может возникнуть любая подстановка карт, а если число движений достаточно велико, то колоду карт с достаточным основанием можно считать "тщательно перетасованной" . Анализируя эти слова, можно заметить, что, во- первых, вывод о "качестве" тасования носит существенно вероятностный характер ("с достаточным основанием"), и, во-вторых, что число движений должно быть достаточно большим (сам А.Реньи предпочитает не рассматривать вопрос о том, что понимается под "достаточно большим числом"). Ясно, однако, что необходимое число по крайней мере на порядок выше тех 10-25 движений, обычно применяемых в реальной игровой ситуации. Кроме того, не так то просто "протестировать" движения тасующего (не говоря уже об автомате) на "случайность"! Подводя итоги, возвратимся к вопросу, вынесенному в заголовок статьи. Конечно, было бы опрометчивым думать, что знание математики способно помочь игроку выработать выигрышную стратегию даже в не очень сложной игре, такой, например, как двадцать одно. Торпу удалось это сделать, лишь используя несовершенство (временное!) применявшихся тогда правил. Можно также сказать, что не следует ожидать, что математика сможет обеспечить игрока хотя бы беспроигрышной стратегией. Но, с другой стороны, понимание математических аспектов, связанных с азартными играми, несомненно поможет игроку избежать самых невыгодных для себя ситуаций, в частности, не стать жертвой обмана, как это, например, имеет место с проблемой "тасования карт". Более того, невозможность построения выигрышной стратегии для всех "случаев жизни" нисколько не мешает "математически продвинутому" игроку выбирать по возможности "наилучшее" решение в каждой конкретной игровой ситуации и, в рамках дозволяемого "Госпожой Удачей", не только получать удовольствие от самого процесса Игры, но и от ее результата. Выиграть в ставках на спорт можно очень просто - От букмекера Bwin для Вас есть бонус: получите 10 Евро за каждого друга которого вы привлекли на Bwin. Но самое интересное то, что Ваш друг получает ту же сумму. Также есть и другие бонусы взависимости от суммы Вашей ставки. Все эти бонусы действительны только вслучае если вы перейдете по баннеру Bwin, сразу зарегистрируйтесь и сделаете первую ставку не позже 7-ми дней после регистрации. |